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<!DOCTYPE html>

<title>Addition</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Addition</h1>

</header>

</div>

L'addition<a href="#cite_note-1">[1]</a> est l'une des quatre <a href="Op%C3%A9ration_(math%C3%A9matiques)" title="Opération (mathématiques)">opérations</a> de l'<a href="Arithm%C3%A9tique_%C3%A9l%C3%A9mentaire" title="Arithmétique élémentaire">arithmétique élémentaire</a> avec la <a href="Soustraction" title="Soustraction">soustraction</a>, la <a href="Multiplication" title="Multiplication">multiplication</a> et la <a href="Division" title="Division">division</a>. L'addition permet notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de <a href="Grandeur_physique" title="Grandeur physique">grandeurs</a> extensives de même nature, comme les <a href="Longueur" title="Longueur">longueurs</a>, les <a href="Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Aire (géométrie)">aires</a>, ou les <a href="Volume" title="Volume">volumes</a>. L'addition de deux grandeurs ne peut s'effectuer que si ces grandeurs sont exprimées avec la même <a href="Unit%C3%A9_de_mesure" title="Unité de mesure">unité de mesure</a><a href="#cite_note-Burat189111-2">[2]</a>. Le résultat d'une addition est appelé une <a href="Somme_(arithm%C3%A9tique)" title="Somme (arithmétique)">somme</a>, et les nombres que l'on additionne, les termes.

En <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, l'addition, initialement développée sur les <a href="Nombre#Pédagogie" title="Nombre">ensembles de nombres</a> usuels, est également définie pour d'<a href="#Extensions">autres objets mathématiques</a> comme les <a href="Vecteur" title="Vecteur">vecteurs</a> et les <a href="Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques)">fonctions</a>.

Par analogie, on appelle addition la <a href="Loi_de_composition_interne" title="Loi de composition interne">loi de composition interne</a> des <a href="Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">espaces vectoriels</a> et de certains <a href="Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">groupes abéliens</a>. D'<a href="#Autres_additions">autres structures</a> mathématiques sont également munies d'<a href="Op%C3%A9ration_binaire" title="Opération binaire">opérations binaires</a> appelées additions, mais qui ne satisfont pas toujours les <a href="#Propriétés">propriétés</a> de l'addition usuelle.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fragments_d'histoire_:_l'addition_à_l'origine_des_autres_opérations_de_l'arithmétique_élémentaire">Fragments d'histoire : l'addition à l'origine des autres opérations de l'arithmétique élémentaire</h2></div>

Utilisée dès l'apparition des premiers calculs humains, l'addition est formalisée par <a href="Euclide" title="Euclide">Euclide</a> dans le <a href="Livre_VII_des_%C3%89l%C3%A9ments_d'Euclide" title="Livre VII des Éléments d'Euclide">Livre VII</a> de son traité intitulé "<a href="%C3%89l%C3%A9ments_(Euclide)" title="Éléments (Euclide)">Éléments</a>"<a href="#cite_note-Euclide1814381-452-3">[3]</a>, ouvrage considéré comme ayant fondé l'arithmétique occidentale<a href="#cite_note-Bourbaki1960111-112-4">[4]</a>. Euclide, raisonnant sur les nombres entiers, utilise l'addition notamment pour définir la multiplication (définition 16 du Livre VII)<a href="#cite_note-Euclide1814383-5">[5]</a> : "Un nombre est dit multiplier un nombre, lorsque le multiplié est ajouté autant de fois qu'il y a d'unités dans celui qui le multiplie, et qu'un nombre est produit".

L'addition peut donc être considérée comme à l'origine des trois autres opérations de l'arithmétique élémentaire, la soustraction (opération inverse de l'addition), la multiplication et la division (opération inverse de la multiplication). Ce lien entre l'addition et les trois autres opérations arithmétiques élémentaires se retrouve souvent de façon explicite dans les ouvrages d'enseignement de l'arithmétique de la fin du <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle<a href="#cite_note-Burat189119-6">[6]</a>.

C'est aussi à la fin du <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle que le mathématicien italien <a href="Giuseppe_Peano" title="Giuseppe Peano">Giuseppe Peano</a> énonce une <a href="Axiomes_de_Peano" title="Axiomes de Peano">théorie axiomatique de l'arithmétique</a> qui définit de façon formelle l'ensemble des nombres entiers à partir d'une fonction de "successeur". Celle-ci permet de générer les entiers et de définir l'opération d'addition dont l'ensemble des entiers est doté. Les opérations de soustraction, de multiplication et de division sont ensuite définies de façon semblable à celle dérivée des travaux d'Euclide.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Conception">Conception</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Réunion_de_quantités">Réunion de quantités</h3></div>

L'addition se conçoit d'abord comme le dénombrement d'une réunion de collections d'objets, à trois conditions :

<ul><li>D'une part, ces objets ne doivent pas perdre leur individualité quand on les réunit, comme le feraient des liquides<a href="#cite_note-7">[7]</a> ou des boules de pâte à modeler[pas clair].</li>

<li>D'autre part, les éléments « en double » apparaissant dans plusieurs collections à la fois doivent être considérés comme distincts et dénombrés individuellement.</li>

<li>Enfin, ces objets doivent être de même nature, c'est-à-dire répondre à une dénomination commune. Ainsi, pour additionner des pommes et des poires, il est nécessaire de les considérer globalement comme des fruits, afin d'exprimer le résultat en nombre de fruits<a href="#cite_note-8">[8]</a>.</li></ul>

Le résultat de l'addition est la quantité totale d'objets, qui peut se dénombrer soit par un <a href="Compte" title="Compte">comptage</a>, soit par un <a href="Calcul_(math%C3%A9matiques)" title="Calcul (mathématiques)">calcul mathématique</a> sur les <a href="Nombre" title="Nombre">nombres</a> décrivant les quantités de départ.

De même, pour que l'addition puisse décrire la réunion d'objets <a href="Fraction_(math%C3%A9matiques)" title="Fraction (mathématiques)">fractionnaires</a>, comme des portions de cercle ou des figures géométriques tracées sur un quadrillage, il faut que tous les objets soient évalués à partir d'une sous-division commune, une brique élémentaire. Mathématiquement, cette condition s'interprète comme la recherche d'un <a href="D%C3%A9nominateur" title="Dénominateur">dénominateur</a> commun à plusieurs fractions.

<a href="Grandeur_extensive" class="mw-redirect" title="Grandeur extensive">Certaines grandeurs physiques</a>, mais aussi <a href="#Constructions_géométriques">géométriques</a> ou économiques<a href="#cite_note-9">[9]</a>, peuvent également s'additionner par la réunion des objets sur lesquels elles sont mesurées. Mais ces grandeurs doivent alors être évaluées relativement à une <a href="Unit%C3%A9_de_mesure" title="Unité de mesure">unité de mesure</a> commune.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bilan_de_variations">Bilan de variations</h3></div>

L'addition peut mettre en jeu des <a href="Nombre_n%C3%A9gatif" title="Nombre négatif">nombres négatifs</a> en apparaissant comme le bilan des variations ou des déplacements successifs le long d'un axe orienté. Chaque terme est alors muni d'un <a href="Signe_(arithm%C3%A9tique)" title="Signe (arithmétique)">signe</a> indiquant son sens : positif pour un gain, une augmentation ou un déplacement dans le sens de l'axe ; négatif pour une perte, une diminution ou un déplacement dans le sens contraire à celui de l'axe. Le résultat de l'opération est alors appelé une « somme algébrique ».

Les variations peuvent là encore concerner des quantités entières ou fractionnaires, ou n'importe quelle grandeur mesurée.

Par exemple, l'addition de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -5}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffa50dcaacd32d77fb512af521f6066839464c82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -5}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/425979b37896d1911b58956146264cc1fb29aec0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +2}" loading="lazy"> traduit une perte de cinq unités et le gain de deux unités. Le résultat de l'addition, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e8ffb51bb3837cabdd202845d15aedc67a4ac88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -3}" loading="lazy">, correspond à la variation globale du nombre d'unités : trois unités ont été perdues.

Cette conception peut être étendue pour définir l'<a href="#Vecteurs_d'un_espace_affine">addition des vecteurs</a> par juxtaposition de déplacements ou translations, en n'imposant plus qu'ils se fassent le long d'un même axe.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Construction_formelle">Construction formelle</h3></div>

La formalisation mathématique des nombres entiers naturels privilégie cependant une définition ordinale de l'addition, par <a href="D%C3%A9finition_par_r%C3%A9currence" title="Définition par récurrence">récurrence</a>.

Ainsi, partant de la seule opération « ajouter un », l'addition des nombres 3 et 2 se conçoit sous la forme « 3 auquel on ajoute un par deux fois » (3+1+1).

Dans ce contexte, les propriétés de commutativité et d'associativité ne sont alors plus du tout évidentes et doivent être démontrées.

À partir de l'addition des entiers naturels, sont construites successivement les additions des <a href="Entier_relatif" title="Entier relatif">entiers relatifs</a>, des rationnels, des réels et des complexes. (Cet ordre ne reflète pas l'ordre chronologique selon lequel sont apparus ces <a href="Nombre" title="Nombre">ensembles de nombres</a>.)

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Opération_numérique">Opération numérique</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notation">Notation</h3></div>

L'addition de deux termes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> se note habituellement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2391acf09244b9dba74eb940e871a6be7e7973a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.068ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b}" loading="lazy"> et se lit « <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> plus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> », parfois « <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> » ou « <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> ajouté à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ». Le signe <a href="Signes_plus_et_moins" title="Signes plus et moins">« + »</a> remplace depuis la fin du <abbr class="abbr" title="15ᵉ siècle">XVe</abbr> siècle le symbole p pour « plus »<a href="#cite_note-10">[10]</a>.

Cette notation infixe peut être remplacée dans certains contextes par une <a href="Fonction_de_plusieurs_variables" title="Fonction de plusieurs variables">notation fonctionnelle</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +(a,b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +(a,b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67c833c03ae712f6a482e103c22b4bc6f29a01ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle +(a,b)}" loading="lazy"> ou par une <a href="Notation_polonaise_inverse" title="Notation polonaise inverse">notation postfixée</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a)(b)+}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a)(b)+}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/789d690f699ae71175ddf2a1e04fa72687248937.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.654ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a)(b)+}" loading="lazy">. Dans la <a href="D%C3%A9composition_arborescente" title="Décomposition arborescente">décomposition arborescente</a> d'une expression algébrique, l'addition est représentée par un nœud trivalent avec deux entrées et une sortie.

</td>

</td>

<td>

</td>

</td></tr>

<tr>

<td>

</td>

<td>

</td>

<td>

</td></tr>

</tbody><caption>Le nombre 1527 en notation égyptienne

</caption></table>

La plupart des systèmes de notation de nombres utilisent l'addition pour les constituer :

<ul><li>dans un système de <a href="Notation_additive_(num%C3%A9ration)" title="Notation additive (numération)">notation additive</a> tel que le <a href="Syst%C3%A8me_unaire" title="Système unaire">système unaire</a> ou la <a href="Num%C3%A9ration_%C3%A9gyptienne" title="Numération égyptienne">numération égyptienne</a>, le signe « + » n'a pas besoin d'être indiqué puisque l'écriture des nombres consiste déjà à décomposer les nombres en une somme de valeurs numériques fixées.</li>

<li>dans un système de <a href="Notation_positionnelle" title="Notation positionnelle">notation positionnelle</a> telle la <a href="%C3%89criture_d%C3%A9cimale_positionnelle" class="mw-redirect" title="Écriture décimale positionnelle">notation moderne</a>, les nombres sont constitués par des chiffres dont la position est reliée à la position voisine par un multiplicateur, appelé <a href="Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">base</a> du <a href="Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration" title="Système de numération">système de numération</a>. Ainsi , par exemple en base 10, le nombre 25 vaut 2x10+5=(10+10)+5 : les signes "+" ne sont pas indiqués.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Propriétés">Propriétés</h3></div>

L'addition de nombres possède certaines propriétés valables dans tous les <a href="Nombre#Pédagogie" title="Nombre">ensembles de nombres</a> usuels<a href="#cite_note-11">[11]</a> :

<ul><li>elle est <a href="Commutativit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Commutativité">commutative</a>, c'est-à-dire que l'ordre dans lequel sont donnés les termes de l'addition n'a pas d'influence sur le résultat :</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b=b+a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/684f43b5094501674e8314be5e24a80ee64682e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.234ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b=b+a}" loading="lazy"> ;</dd></dl></dd></dl>

<ul><li>elle est <a href="Associativit%C3%A9" title="Associativité">associative</a>, c'est-à-dire qu'il n'y a pas besoin de préciser par des parenthèses l'ordre dans lequel est effectuée une suite d'additions :</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46b7b8d31d5845966e6abdbb030c73f343c17d4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}" loading="lazy">, d'où la notation sans parenthèses <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b+c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b+c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a1665d6bc61ca933b6a448479992cb3b606561b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.915ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b+c}" loading="lazy"> ;</dd></dl></dd></dl>

<ul><li>elle est simplifiable, c'est-à-dire que dans une égalité d'additions, on peut supprimer deux termes identiques de part et d'autre du <a href="Signe_%C3%A9gal" title="Signe égal">signe égal</a> :</li></ul>

si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+a=y+a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+a=y+a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fda3d16e53aa140e9951418d6850a7516444a0c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.724ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x+a=y+a}" loading="lazy"> alors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/409a91214d63eabe46ec10ff3cbba689ab687366.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.584ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x=y}" loading="lazy"> ;

<ul><li>elle admet, dans l'ensemble des nombres considéré, un élément nul ou <a href="Z%C3%A9ro" title="Zéro">zéro</a>, noté 0, qui est <a href="%C3%89l%C3%A9ment_neutre" title="Élément neutre">neutre</a> : pour tout <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+0=a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+0=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4564e28f0f8274644ca4e58664c0593ed48de541.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.561ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+0=a}" loading="lazy">.</li></ul>

Chaque élément <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> des ensembles <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {D} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {D} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b932b553742ca27776057f1262527014ebbb46a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {D} }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> (mais aucun élément de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }" loading="lazy">) possède un nombre opposé noté <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae55e66aeffc525917eed885b4b753ba5a7f8b3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.138ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -x}" loading="lazy"> tel que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+(-x)=-x+x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+(-x)=-x+x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b34d7d1e1ca93207057cffc73166eefb73d03a10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.784ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x+(-x)=-x+x=0}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Procédé_de_calcul">Procédé de calcul</h3></div>

L'évaluation du résultat d'une addition dépend du <a href="Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration" title="Système de numération">système de numération</a> employé, c'est-à-dire de la manière de représenter les nombres.

Dans un système additif, il suffit de juxtaposer les écritures puis de simplifier l'expression en regroupant les symboles de même valeur pour en remplacer une partie par des symboles de valeur plus élevée lorsque c'est possible. De manière générale, les systèmes de numération non chiffrés ont pu développer une technique d'addition par la pratique de l'<a href="Abaque_(calcul)" title="Abaque (calcul)">abaque</a>.

<td width="15">+

</td>

<td width="15">0

</td>

<td width="15">1

</td>

<td width="15">2

</td>

<td width="15">3

</td>

<td width="15">4

</td>

<td width="15">5

</td>

<td width="15">6

</td>

<td width="15">7

</td>

<td width="15">8

</td>

<td width="15">9

</td></tr>

<tr>

<td>9

</td></tr>

<tr>

<td>10

</td></tr>

<tr>

<td>11

</td></tr>

<tr>

<td>12

</td></tr>

<tr>

<td>13

</td></tr>

<tr>

<td>14

</td></tr>

<tr>

<td>15

</td></tr>

<tr>

<td>16

</td></tr>

<tr>

<td>17

</td></tr>

<tr>

<td>18

</td></tr>

<tr>

<td colspan="11">Table d'addition en écriture positionnelle décimale

</td></tr></tbody></table>

Dans un système de <a href="Notation_positionnelle" title="Notation positionnelle">numération positionnelle chiffrée</a>, le calcul d'une somme d'entiers passe par l'utilisation d'une <a href="Table_d'addition" title="Table d'addition">table d'addition</a>. Celle-ci permet de trouver la somme des chiffres sur chaque position.

L'écriture du résultat se fait de la position la plus basse à la position la plus haute (de droite à gauche en notation moderne<a href="#cite_note-12">[12]</a>). Pour chaque position, on inscrit le chiffre des unités de la somme des chiffres et on reporte une retenue sur la position suivante si cette somme est plus grande que la base. Chaque chiffre du résultat est ensuite incrémenté de l'éventuelle retenue.

Pour clarifier visuellement le procédé, on peut commencer par poser l'addition, c'est-à-dire en notation moderne, écrire l'un en dessous de l'autre les nombres à additionner en alignant verticalement les positions correspondantes.

Cette méthode se généralise pour les <a href="Nombre_d%C3%A9cimal" title="Nombre décimal">nombres décimaux</a> en alignant verticalement les virgules.

L'addition de <a href="Fraction_(math%C3%A9matiques)" title="Fraction (mathématiques)">fractions</a> d'entiers passe par une mise au même dénominateur, puis une addition des numérateurs et enfin par une éventuelle simplification de la fraction obtenue.

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {7}{10}}+{\frac {5}{6}}={\frac {7\times 3}{10\times 3}}+{\frac {5\times 5}{6\times 5}}={\frac {21}{30}}+{\frac {25}{30}}={\frac {21+25}{30}}={\frac {46}{30}}={\frac {23}{15}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3af0250220a0e987f9949dce4767e5e6b5c7503c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:63.309ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {7}{10}}+{\frac {5}{6}}={\frac {7\times 3}{10\times 3}}+{\frac {5\times 5}{6\times 5}}={\frac {21}{30}}+{\frac {25}{30}}={\frac {21+25}{30}}={\frac {46}{30}}={\frac {23}{15}}}" loading="lazy"></center>

Quant à l'addition des <a href="Fraction_%C3%A9gyptienne" title="Fraction égyptienne">fractions égyptiennes</a> de numérateur unitaire et de dénominateurs tous distincts, elle fait appel à un processus itératif de simplification des fractions apparaissant en double.

Les sommes d'entiers, de décimaux et de <a href="Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">rationnels</a> peuvent toujours se ramener à une forme où ne figure plus le signe « + ». En revanche, une somme de réels n'admet pas toujours une telle forme : on ne peut pas simplifier l'écriture de 1 + √2.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Itération">Itération</h3></div>

En choisissant un terme constant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy">, l'addition permet de définir une fonction <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to x+r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to x+r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08e8a2f5ecb2c09693057645f4f1d5490099ad0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to x+r}" loading="lazy"> que l'on peut itérer pour construire des <a href="Suite_arithm%C3%A9tique" title="Suite arithmétique">suites arithmétiques</a> de raison <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy">. De telles suites <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/551294aa20e8ed2ba0f65099a0b5bf830b9827cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.357ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (u_{n})}" loading="lazy"> vérifient pour tout entier positif <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> la relation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+r}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c17e0dd03ed71eede3922853688e2f58e85ba12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.184ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+r}" loading="lazy">. Elles s'écrivent alors sous la forme :

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u_{0},u_{0}+r,u_{0}+r+r,u_{0}+r+r+r,\dots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9395450a388ba254c270269ffa3076dbca1875f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.538ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (u_{0},u_{0}+r,u_{0}+r+r,u_{0}+r+r+r,\dots )}" loading="lazy">.</dd></dl>

Ces répétitions d'addition permettent de définir la <a href="Multiplication" title="Multiplication">multiplication</a> par un nombre entier :

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\times r=\underbrace {r+\dots +r} _{\textstyle p\ {\mbox{fois}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9684e853fc496f1ab321e005b3a1e8c454a949c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.838ex; margin-left: -0.089ex; margin-right: -0.028ex; width:18.776ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle p\times r=\underbrace {r+\dots +r} _{\textstyle p\ {\mbox{fois}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

L'addition d'une suite finie de nombres définie par une formule générale (par exemple, l'addition des entiers impairs de 1 à 99) utilise des procédés spécifiques qui quittent le domaine opératoire de l'addition. L'étude des suites et <a href="S%C3%A9rie_(math%C3%A9matiques)" title="Série (mathématiques)">séries</a> associées fournit des méthodes plus efficaces pour le calcul de telles sommes.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Culture_populaire">Culture populaire</h3></div>

L'addition donne aussi lieu à certains jeux. La <a href="Mourre" title="Mourre">mourre</a>, par exemple, consiste à deviner la somme de deux petits nombres, que les deux adversaires donnent simultanément avec leurs doigts.

En poésie, elle est évoquée par la <a href="Page_d'%C3%A9criture" title="Page d'écriture">Page d'écriture</a> de <a href="Jacques_Pr%C3%A9vert" title="Jacques Prévert">Jacques Prévert</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Constructions_géométriques">Constructions géométriques</h2></div>

Les nombres intervenant dans une addition représentent parfois des grandeurs géométriques : longueur d'un segment, mesure d'un angle (orienté ou non), aire d'une surface carrée. Dans chacun de ces cas, le calcul de la somme peut être illustré par une construction géométrique à la <a href="R%C3%A8gle_(instrument_de_g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Règle (instrument de géométrie)">règle</a> et au <a href="Compas_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Compas (géométrie)">compas</a>. Il existe aussi dans chaque cas une construction de la <a href="Soustraction" title="Soustraction">soustraction</a> qui permet à partir de la grandeur somme et d'une des grandeurs de départ de trouver l'autre grandeur de départ.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Longueurs">Longueurs</h3></div>

Pour représenter la somme des <a href="Longueur" title="Longueur">longueurs</a> de deux segments, il suffit de prolonger à la règle l'un de ces deux segments au-delà de l'une de ses extrémités, puis de tracer un cercle centré en cette extrémité et ayant pour rayon l'autre longueur. L'intersection du cercle avec le prolongement définit la nouvelle extrémité de la longueur prolongée.

Ce principe est fondamental pour définir ce qu'est un <a href="Nombre_constructible" title="Nombre constructible">nombre constructible</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Angles_géométriques">Angles géométriques</h3></div>

Étant donnés deux <a href="Secteur_angulaire" class="mw-redirect" title="Secteur angulaire">secteurs angulaires</a> tracés dans le plan, il est possible de construire un secteur angulaire dont la mesure de l'angle soit la somme des mesures des angles donnés. Il suffit pour cela de tracer d'abord un <a href="Triangle_isoc%C3%A8le" title="Triangle isocèle">triangle isocèle</a> dont le sommet principal et ses côtés adjacents constituent l'un des secteurs angulaires, puis de construire un <a href="Triangle#Triangles_isométriques" title="Triangle">triangle isométrique</a> de sommet principal à la pointe de l'autre secteur angulaire avec un côté adjacent en commun et l'autre côté à l'extérieur du secteur angulaire. Les deux côtés extérieurs délimitent alors l'angle somme.

En cas d'addition d'angles avec des mesures importantes, l'angle somme peut avoir une mesure de plus de 360°.

Cette procédure, appliquée aux angles d'un triangle, permet de vérifier que la somme des mesures de ces angles vaut bien 180°.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Angles_orientés,_angles_de_vecteurs">Angles orientés, angles de vecteurs</h3></div>

L'addition d'<a href="Angle#Angles_orientés_dans_le_plan" title="Angle">angles orientés</a> se fait de manière analogue à celle des <a href="#Angles_géométriques">angles géométriques</a>, à la différence que le premier côté du deuxième angle doit être superposé au deuxième côté du premier angle.

La construction peut alors se décrire en termes de transformations du plan. Si le premier angle orienté est déterminé par un couple de vecteurs représentés à partir de la même origine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"> et d'extrémités respectives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">, il suffit de construire l'image <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b144e466a3757b4706daf24a45d4f1266700016.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.449ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B'}" loading="lazy"> de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> par la <a href="Rotation_plane" title="Rotation plane">rotation</a> de centre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"> et d'angle le second angle orienté. Les vecteurs de même origine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"> et d'extrémités <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b144e466a3757b4706daf24a45d4f1266700016.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.449ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B'}" loading="lazy"> définissent alors l'angle orienté somme.

En appliquant cette opération aux angles de vecteurs de la forme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {\imath }};{\overrightarrow {OM}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {\imath }};{\overrightarrow {OM}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ba34175be3b34b2306a163328e9e1a1979ad07e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-top: -0.4ex; width:8.456ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {\imath }};{\overrightarrow {OM}})}" loading="lazy">, où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> est un point du <a href="Cercle_trigonom%C3%A9trique" title="Cercle trigonométrique">cercle trigonométrique</a>, l'addition angulaire définit une opération sur les points du cercle qui correspond à la multiplication des <a href="Nombre_complexe" title="Nombre complexe">nombres complexes</a> de module 1.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Aires_de_surfaces_carrées">Aires de surfaces carrées</h3></div>

Étant donné deux <a href="Carr%C3%A9" title="Carré">carrés</a> tracés dans le plan, il est possible de construire un carré dont l'aire est la somme des aires des carrés initiaux. En effet, si les deux carrés initiaux peuvent être tracés de façon à avoir un sommet en commun et deux côtés perpendiculaires, le triangle formé par ces deux côtés est alors un triangle rectangle. Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore" title="Théorème de Pythagore">théorème de Pythagore</a> permet alors de montrer que le carré formé sur le troisième côté du triangle a pour aire la somme des aires des carrés initiaux.

L'opération ainsi définie sur les longueurs des côtés des carrés est l'addition pythagoricienne qui s'exprime (sur les couples de réels positifs) par :

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)\mapsto {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3750e278049ad20c9ba0d29e94fe7e77a774761.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.185ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle (a,b)\mapsto {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Ce problème de construction généralise celui de la <a href="Racine_carr%C3%A9e_de_deux#Dupliquer_un_carré" title="Racine carrée de deux">duplication du carré</a>, où les carrés initiaux ont la même dimension.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Construction_universelle">Construction universelle</h2></div>

En <a href="Th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories" title="Théorie des catégories">théorie des catégories</a>, les entiers naturels forment un <a href="Squelette_(th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories)" title="Squelette (théorie des catégories)">squelette</a> de la catégorie des <a href="Ensemble_fini" title="Ensemble fini">ensembles finis</a> et l’addition et la <a href="Somme_(cat%C3%A9gorie)" title="Somme (catégorie)">somme</a>, parce que l’addition est équivalente à la <a href="R%C3%A9union_disjointe" title="Réunion disjointe">réunion disjointe</a>. Dit informellement, la somme de deux entiers est l’objet minimal qui peut contenir toutes les deux indépendamment. Dans divers domaines des mathématiques, cette somme est un concept important, par exemple la <a href="Somme_directe" title="Somme directe">somme directe</a> en <a href="Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire" title="Algèbre linéaire">algèbre linéaire</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Extensions">Extensions</h2></div>

D'autres <a href="Structure_(math%C3%A9matiques)" title="Structure (mathématiques)">structures mathématiques</a> étendent certains ensembles de nombres et sont munis d'une opération binaire qui prolonge l'addition usuelle, mais qui ne possède pas toujours toutes ses propriétés.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonctions">Fonctions</h3></div>

Si les <a href="Application_(math%C3%A9matiques)" title="Application (mathématiques)">applications</a> définies sur un ensemble donné commun et à valeur numérique peuvent s'additionner simplement composante par composante comme des vecteurs, il n'en est pas de même pour les <a href="Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques)">fonctions</a> qui ont un <a href="Domaine_de_d%C3%A9finition" class="mw-redirect" title="Domaine de définition">domaine de définition</a> propre.

Étant donné deux fonctions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> définies sur les domaines respectifs <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{f}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13b8420d715315c8e8b57f178a1b3a8512bd0959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{f}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f5626aa4260303f293c7ebaa4786e38440557c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.946ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{g}}" loading="lazy"> (par exemple des <a href="Intervalle_(math%C3%A9matiques)" title="Intervalle (mathématiques)">intervalles</a> réels), la fonction <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f+g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f+g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d94a24abd865f6f9fd67a7df7e531cae1c769b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.235ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f+g}" loading="lazy"> a pour domaine l'intersection <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{f+g}=D_{f}\cap D_{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{f+g}=D_{f}\cap D_{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53088cedd21c93df5e666352bce10a700d5e2b1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.816ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{f+g}=D_{f}\cap D_{g}}" loading="lazy"> et pour expression l'addition usuelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf80cb50218eac1e40d4a0908bd039db3bd0863c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.795ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}" loading="lazy">.

Cette addition est associative et commutative. Son neutre est la fonction définie partout et constamment nulle, mais l'addition d'une « fonction opposée » ne permet pas d'étendre le domaine de définition. Par exemple, la somme des fonctions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2159a46cc4bbf43fa8ac0fc605d91960d9b50aa0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.209ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto -{\sqrt {x}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto -{\sqrt {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5b24dbc9152197f5c25496b642af2f4d8f75fb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.017ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto -{\sqrt {x}}}" loading="lazy"> est la <a href="Fonction_nulle" title="Fonction nulle">fonction nulle</a> définie seulement sur les réels positifs.

Dans certains contextes, comme dans l'addition des <a href="Fonction_m%C3%A9romorphe" title="Fonction méromorphe">fonctions méromorphes</a>, l'effacement des singularités permet cependant d'évacuer le problème du domaine de définition de la somme.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Variables_aléatoires_indépendantes">Variables aléatoires indépendantes</h3></div>

En probabilités élémentaires, étant données deux <a href="Variable_al%C3%A9atoire_r%C3%A9elle" title="Variable aléatoire réelle">variables aléatoires</a> indépendantes ne pouvant prendre qu'un nombre fini de valeurs, l'addition se calcule en construisant un tableau avec une ligne par valeur de la première variable et une colonne par valeur de la seconde variable.

Chaque case du tableau est remplie avec d'une part la somme des valeurs de la ligne et de la colonne correspondante, d'autre part le produit des probabilités correspondantes.

Ensuite, il suffit pour chaque valeur apparaissant dans le tableau de faire la somme des probabilités des cases qui la contiennent.

En probabilités continues, la <a href="Densit%C3%A9_de_probabilit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Densité de probabilité">densité de probabilité</a> d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes est donnée par le <a href="Produit_de_convolution" title="Produit de convolution">produit de convolution</a> des densités de probabilités initiales.

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{X+Y}=f_{X}*f_{Y}\colon x\mapsto \int f_{X}(t)f_{Y}(x-t)\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17b540071a0817546f3f573b66685a3bb3ed232a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:41.55ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle f_{X+Y}=f_{X}*f_{Y}\colon x\mapsto \int f_{X}(t)f_{Y}(x-t)\mathrm {d} t}" loading="lazy">.</dd></dl>

Cette présentation s'étend aux variables aléatoires dont la fonction de densité est une <a href="Distribution_(math%C3%A9matiques)" title="Distribution (mathématiques)">distribution</a>.

Cette opération est associative et commutative. Le neutre est la variable aléatoire toujours nulle, mais seuls les nombres, représentés par les variables aléatoires constantes admettent des opposés. Il n'existe pas d'opposé aux variables aléatoires non constantes : elles sont d'<a href="Glossaire_des_statistiques" title="Glossaire des statistiques">étendue</a> strictement positive, or l'étendue d'une somme est la somme des étendues.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Limites_réelles">Limites réelles</h3></div>

Les <a href="Limite_(math%C3%A9matiques)" title="Limite (mathématiques)">limites</a> de suites ou de fonctions à valeur réelle peuvent être prises dans la droite continuée <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93119e96049e456f0b25aca3312d6e3bc163d1bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.775ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}" loading="lazy">. L'addition des nombres peut alors s'étendre partiellement aux termes infinis. Pour tout <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> réel :

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+(+\infty )=(+\infty )+x=(+\infty )+(+\infty )=+\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e99153437ca7591d3b9de72c4bf66198d5e80d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.373ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x+(+\infty )=(+\infty )+x=(+\infty )+(+\infty )=+\infty }" loading="lazy">, et</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+(-\infty )=(-\infty )+x=(-\infty )+(-\infty )=-\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df3b95b3828bff5e45e626582b37057dfbe1f4ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.373ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x+(-\infty )=(-\infty )+x=(-\infty )+(-\infty )=-\infty }" loading="lazy">.</dd></dl>

Cette opération garde des propriétés de commutativité et d'associativité mais n'est pas définie pour les couples <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-\infty ;+\infty )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\infty ;+\infty )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ed0f7a994ca7f6de001ec585024aa128399dad4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.107ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\infty ;+\infty )}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (+\infty ;-\infty )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (+\infty ;-\infty )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aae2f486b8466c6fb97697e166d03a1871370b01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.107ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (+\infty ;-\infty )}" loading="lazy">.

Selon les cas, la somme de deux suites ou fonctions admettant des limites infinies opposées peut avoir une limite finie, infinie ou pas de limite du tout.

Cette extension de l'addition est utilisée notamment en <a href="Th%C3%A9orie_de_la_mesure" title="Théorie de la mesure">théorie de la mesure</a> pour satisfaire l'additivité de la mesure sur des espaces de mesure infinie.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ordinaux_et_ensembles_ordonnés">Ordinaux et ensembles ordonnés</h3></div>

La classe des <a href="Nombre_ordinal" title="Nombre ordinal">ordinaux</a> étend l'ensemble des <a href="Entier_naturel" title="Entier naturel">entiers naturels</a> par les <a href="Nombre_transfini" title="Nombre transfini">nombres transfinis</a>. L'addition s'étend ainsi en une opération sur les nombres ordinaux qui est associative mais non commutative. Par exemple, le premier ordinal infini, noté <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy">, vérifie la relation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+\omega =\omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+\omega =\omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/590fe451aa27923ea3121d6151745663100c9aa9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.993ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1+\omega =\omega }" loading="lazy"> mais <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega <\omega +1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega <\omega +1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7f17cbdea66fcf036238d9645d9883d6eaf0406.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.993ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \omega <\omega +1}" loading="lazy">.

L'élément 0 reste neutre pour l'addition mais il n'y a pas d'ordinal négatif, bien que l'on puisse définir une différence entre deux ordinaux.

Cette opération s'étend aux <a href="Ensemble_ordonn%C3%A9" class="mw-redirect" title="Ensemble ordonné">ensembles ordonnés</a> en général, l'addition de deux ensembles ordonnés <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (E,\leq )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (E,\leq )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ecffea7bf2f97577a4ff8ba66afe58b605ca0c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.427ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (E,\leq )}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (F,\leq )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (F,\leq )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ff65206b343220522ab50e4fd52fe4461705355.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.392ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (F,\leq )}" loading="lazy"> ayant pour résultat l'union disjointe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\sqcup F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\sqcup F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb458908dc881726687dff3c4e7b8f84089bb754.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.099ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E\sqcup F}" loading="lazy"> dans lequel l'ordre des éléments est préservé à l'intérieur de chaque ensemble de départ et tous les éléments de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> sont inférieurs à tous les éléments de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nombres_surréels">Nombres surréels</h3></div>

Un <a href="Nombre_surr%C3%A9el" title="Nombre surréel">nombre surréel</a> est une généralisation du concept de nombre sous la forme d'un couple d'ensembles s'écrivant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\left\{X_{L}|X_{R}\right\}}">

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\left\{X_{L}|X_{R}\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2337f37b33129f73b24eb550b217c49699d8a7c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.73ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X=\left\{X_{L}|X_{R}\right\}}" loading="lazy">, dans lequel chaque élément de l'ensemble de gauche est plus petit que tout élément de l'ensemble de droite.

L'addition se formule alors de manière récursive par

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X+Y=\left\{X_{L}+Y\cup X+Y_{L}|X_{R}+Y\cup X+Y_{R}\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4332d7d9d4bbf5be38b7fabcfba1600dfc83f2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.909ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X+Y=\left\{X_{L}+Y\cup X+Y_{L}|X_{R}+Y\cup X+Y_{R}\right\}}" loading="lazy"></dd></dl>

avec <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A+Y=\left\{a+Y/a\in A\right\}}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A+Y=\left\{a+Y/a\in A\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9abbdf65c8d96ad1f221d019773060a1861008d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A+Y=\left\{a+Y/a\in A\right\}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X+B=\left\{X+b/b\in B\right\}}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X+B=\left\{X+b/b\in B\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c552c10defd62b9b34490834a862635bc3a2f400.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X+B=\left\{X+b/b\in B\right\}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Autres_additions">Autres additions</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Addition_vectorielle">Addition vectorielle</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Vecteurs_d'un_espace_affine">Vecteurs d'un espace affine</h4></div>

Étant donnés quatre points <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> d'un <a href="Espace_affine" title="Espace affine">espace affine</a> tel que le plan ou l'espace euclidien, l'addition des deux <a href="Vecteur" title="Vecteur">vecteurs</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b245e60e48c3c8f577aaf9512a1bdf3049cc6207.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.372ex; width:3.637ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9dfde5e96abe9f22be7fc04c5fdda1fd2351bfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.398ex; width:3.821ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}" loading="lazy"> se construit en définissant un point <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> tel que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {BE}}={\overrightarrow {CD}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {BE}}={\overrightarrow {CD}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3598173a1683e8b4d4f6a905554c57616d1ed92c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.398ex; width:10.628ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {BE}}={\overrightarrow {CD}}}" loading="lazy"> (en traçant le parallélogramme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle BCDE}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BCDE}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/694317cc37f4d7fe8547fefc3abd5040b7ea2f0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.23ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle BCDE}" loading="lazy">).

Le vecteur somme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CD}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CD}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28d81c0a84c8a796d5688888ea55a0165649e020.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; margin-top: -0.372ex; width:10.298ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CD}}}" loading="lazy"> est donc égal à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BE}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BE}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43d62a2ed18b008302969968ee87bc0d7a27180c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; margin-top: -0.372ex; width:10.187ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BE}}}" loading="lazy"> et la <a href="Relation_de_Chasles" title="Relation de Chasles">relation de Chasles</a> nous permet alors d'avoir <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {AE}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {AE}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da619582ba32ea2c621f05bb89461ef6fe0ad090.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.372ex; width:3.688ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {AE}}}" loading="lazy">.

L'addition de vecteurs satisfait toutes les propriétés de l'addition numérique. Son neutre est le <a href="Vecteur_nul" title="Vecteur nul">vecteur nul</a> et l'opposé d'un vecteur est un vecteur de même direction et même norme mais de sens opposé.

Lorsque les vecteurs sont définis sur une même droite munie d'un repère, l'addition des vecteurs s'identifie à celle des <a href="Mesure_alg%C3%A9brique" title="Mesure algébrique">mesures algébriques</a>.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Coordonnées_et_composantes">Coordonnées et composantes</h4></div>

Les <a href="Coordonn%C3%A9e" class="mw-redirect" title="Coordonnée">coordonnées</a> des vecteurs dans un <a href="Rep%C3%A8re_cart%C3%A9sien" class="mw-redirect" title="Repère cartésien">repère cartésien</a> permettent de traduire l'addition vectorielle en une succession d'additions de nombres. En effet, si deux vecteurs du plan ont pour coordonnées respectives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x;y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x;y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d92b30b02491602288591b1c15fbb7bc45db3a5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x;y)}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x';y')}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x';y')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f17775ad99a8614006e9b5e5bf399a070b7a105a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.703ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x';y')}" loading="lazy">, le vecteur somme aura pour coordonnées <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+x';y+y')}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+x';y+y')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf99d9528adf8178a36b6ce430f349bc15eb7964.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.869ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x+x';y+y')}" loading="lazy">.

Dans l'espace usuel, l'addition est représentée par l'opération sur les triplets de coordonnées

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x;y;z)+(x';y';z')=(x+x';y+y';z+z')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d01fe7416e7d1849d008ccf49eb41e7154bcc71f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.507ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x;y;z)+(x';y';z')=(x+x';y+y';z+z')}" loading="lazy">.</dd></dl>

Le principe de l'addition terme à terme est repris pour d'autres structures mathématiques telles que l'ensemble des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-<a href="Uplet" title="Uplet">uplets</a> de nombres et les <a href="Suite_(math%C3%A9matiques)" title="Suite (mathématiques)">suites</a> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )+(y_{1},y_{2},y_{3},\dots )=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3},\dots )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )+(y_{1},y_{2},y_{3},\dots )=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3},\dots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4caf58690f7e2975c320bd776c4fb17ff4d756a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:64.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )+(y_{1},y_{2},y_{3},\dots )=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3},\dots )}" loading="lazy">.

Les <a href="Matrice_(math%C3%A9matiques)" title="Matrice (mathématiques)">matrices</a> de même taille et les <a href="Application_(math%C3%A9matiques)" title="Application (mathématiques)">applications</a> à valeur numérique s'additionnent également de cette manière.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Addition_avec_modulo">Addition avec modulo</h3></div>

<caption>Addition modulo 5

</caption>

<td width="20">+

</td>

<td width="20">0

</td>

<td width="20">1

</td>

<td width="20">2

</td>

<td width="20">3

</td>

<td width="20">4

</td></tr>

<tr>

<td>4

</td></tr>

<tr>

<td>0

</td></tr>

<tr>

<td>1

</td></tr>

<tr>

<td>2

</td></tr>

<tr>

<td>3

</td></tr></tbody></table>

Puisque la <a href="Parit%C3%A9_(arithm%C3%A9tique)" title="Parité (arithmétique)">parité</a> d'une somme ne dépend que de la parité des opérandes, il peut être défini une addition sur les parités.

<td>impair

</td></tr>

<tr>

<td>impair

</td></tr>

<tr>

<td bgcolor="#b3e2d1">impair</td>

<td>impair</td>

<td>pair

</td></tr></tbody></table>

Cette opération se généralise pour tout entier strictement positif <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> en une addition modulo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> sur les chiffres de 0 à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecbbd201e0d8f1ccc91cb46362c4b72fa1bbe6c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.043ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle m-1}" loading="lazy">, dans laquelle chaque nombre est remplacé par le reste de sa <a href="Division_euclidienne" title="Division euclidienne">division euclidienne</a> par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">. L'addition sur les parités est alors représentée par l'addition modulo 2, où les nombres pairs sont remplacés par 0 et les nombres impairs par 1.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Addition_booléenne">Addition booléenne</h3></div>

L'addition <a href="Bool%C3%A9en" title="Booléen">booléenne</a> est l'écriture du <a href="Alg%C3%A8bre_de_Boole_(logique)#Disjonction" title="Algèbre de Boole (logique)">connecteur logique</a> « OU » avec les chiffres 0 pour FAUX et 1 pour VRAI. Elle est donc donnée par la table d'addition suivante :

<td width="40">0

</td></tr>

<td>1

</td></tr>

<td>0

</td></tr></tbody></table>

L'opération est associative et commutative, l'élément 0 est neutre mais l'élément 1 n'a pas d'opposé.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Addition_géométrique_sur_une_courbe_cubique">Addition géométrique sur une courbe cubique</h3></div>

Sur certaines courbes, on peut définir une addition géométriquement. C'est possible en particulier sur des <a href="Courbe_cubique" title="Courbe cubique">courbes cubiques</a>, c'est-à-dire des <a href="Courbe_plane" title="Courbe plane">courbes planes</a> définies par une <a href="%C3%89quation" title="Équation">équation</a> du <abbr class="abbr" title="Troisième">3e</abbr> degré. Plus précisément, en appelant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> les coordonnées dans le plan réel, les points de la courbe sont les points <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> dont les coordonnées <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ea0abffd33a692ded22accc104515a032851dff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.519ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,y}" loading="lazy"> vérifient une équation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c910dd64922e23f212bc46e970af0540811c48f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=0}" loading="lazy">, pour un polynôme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> du troisième degré à coefficients réels donné. On suppose aussi que la courbe n'a pas de <a href="Singularit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Singularité (mathématiques)">points singuliers</a>, c'est-à-dire ici de points de rebroussement ou de points doubles ; la tangente est donc bien définie en chaque point. Pour uniformiser les constructions, on rajoute aussi un <a href="Point_%C3%A0_l'infini" title="Point à l'infini">point à l'infini</a>.

Soient maintenant deux points quelconques de la courbe, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy">. La droite qui les joint recoupe la courbe en un troisième point <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> (si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P=Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P=Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2abc7e2c5a78e9e6cb7a2a907279953f9b4a3f52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.682ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P=Q}" loading="lazy">, on prend comme droite les joignant la tangente en <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">). Ce procédé définit bien une opération binaire sur la courbe. Elle n'a pas encore les propriétés attendues d'une addition : par exemple, il n'y a pas d'élément neutre. Pour y remédier, on fixe un point au choix sur la courbe, qu'on note <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/671bd891701e0d6cfa6da0114a5dd64233b58709.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{0}}" loading="lazy">, et l'on considère la droite passant par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/671bd891701e0d6cfa6da0114a5dd64233b58709.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{0}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> : elle coupe encore la cubique en un troisième point. C'est ce point qu'on appelle « somme de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> » (et que l'on note <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P+Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P+Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f58ca231e746ea95b21c2b105168047b8dd4409e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.424ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P+Q}" loading="lazy">).

<a href="Le_Point" title="Le Point">Le point</a> choisi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/671bd891701e0d6cfa6da0114a5dd64233b58709.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{0}}" loading="lazy"> est l'élément neutre (le « zéro ») pour cette opération.

Quant à l'« opposé » d'un point <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">, c'est le troisième point d'intersection avec la courbe de la droite passant par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P'_{0}}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad41d21c8d9211bad5ee8d6c4247e31e8951af23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P'_{0}}" loading="lazy">, où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P'_{0}}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad41d21c8d9211bad5ee8d6c4247e31e8951af23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P'_{0}}" loading="lazy"> est le troisième point d'intersection avec la courbe de la tangente à la courbe en <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/671bd891701e0d6cfa6da0114a5dd64233b58709.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{0}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Additions_récursives">Additions récursives</h3></div>

En 2017, le <a href="Math%C3%A9maticien" title="Mathématicien">mathématicien</a> et <a href="Vulgarisation" title="Vulgarisation">vulgarisateur</a> <a href="Micka%C3%ABl_Launay" title="Mickaël Launay">Mickaël Launay</a> dévoile la potentielle existence d'une ou plusieurs <a href="Op%C3%A9ration_binaire" title="Opération binaire">opération</a>(s) dite(s) « avant » l'addition<a href="#cite_note-13">[13]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cnrtl.fr/etymologie/addition">Mot d'origine latine</a>.

</li>

<li id="cite_note-Burat189111-2"><a href="#cite_ref-Burat189111_2-0">↑</a> <a href="#Burat1891">Burat 1891</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 11.

</li>

<li id="cite_note-Euclide1814381-452-3"><a href="#cite_ref-Euclide1814381-452_3-0">↑</a> <a href="#Euclide1814">Euclide 1814</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 381-452.

</li>

<li id="cite_note-Bourbaki1960111-112-4"><a href="#cite_ref-Bourbaki1960111-112_4-0">↑</a> <a href="#Bourbaki1960">Bourbaki 1960</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 111-112.

</li>

<li id="cite_note-Euclide1814383-5"><a href="#cite_ref-Euclide1814383_5-0">↑</a> <a href="#Euclide1814">Euclide 1814</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 383.

</li>

<li id="cite_note-Burat189119-6"><a href="#cite_ref-Burat189119_6-0">↑</a> <a href="#Burat1891">Burat 1891</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 19.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Exemple pris par <a href="Henri_Lebesgue" class="mw-redirect" title="Henri Lebesgue">Henri Lebesgue</a> dans La Mesure des grandeurs (1931–1935), Blanchard, 1975.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Voir notamment l'article « Addition » du Dictionnaire de mathématiques élémentaires.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> L'addition au restaurant détermine le prix de la réunion des commandes.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Pierre Legrand, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.apmep.fr/Bulletin-520?recherche=520"><cite style="font-style:normal;">Bulletin Vert n°520 : Une histoire de notations</cite></a> » <abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF) d'Adobe">[PDF]</abbr>, Bulletin Vert, sur APMEP, <time class="nowrap" datetime="2016-10-26" data-sort-value="2016-10-26">26 octobre 2016</time> (consulté le <time class="nowrap" datetime="2025-04-29" data-sort-value="2025-04-29">29 avril 2025</time>), <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 457-466

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Selon les cas, ces propriétés sont des axiomes ou démontrées à partir d'axiomes.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> En <a href="Num%C3%A9ration_maya" title="Numération maya">numération maya</a>, où les chiffres sont alignés verticalement, la position la plus basse se trouve en bas.

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Mickaël Launay, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=vYa930zDtz4?t=2895"><cite style="font-style:normal;">Le live final des 10 ans de Micmaths</cite></a> ».

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliographie">Bibliographie</h2></div>

<ul><li>Nicolas Bourbaki, <cite class="italique">Eléments d'histoire des mathématiques</cite>, Paris, Hermann, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Histoire de la pensée », <time>1960</time>, 284 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/elementsdhistoir0004nico/mode/1up?view=theater">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=El%C3%A9ments+d%27histoire+des+math%C3%A9matiques&rft.place=Paris&rft.pub=Hermann&rft.aulast=Bourbaki&rft.aufirst=Nicolas&rft.date=1960&rft.tpages=284&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAddition">. </li>

<li>E. Burat, <cite class="italique">Traité d'arithmétique</cite>, Paris, Belin Frères, <time>1891</time>, 377 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k8742294/f3.item">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Trait%C3%A9+d%27arithm%C3%A9tique&rft.place=Paris&rft.pub=Belin+Fr%C3%A8res&rft.aulast=Burat&rft.aufirst=E.&rft.date=1891&rft.tpages=377&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAddition">. </li>

<li>Euclide (<abbr class="abbr" title="traduction">trad.</abbr> François Peyrard), <cite class="italique">Les œuvres d'Euclide, en grec, en latin et en français : d'après un manuscrit très-ancien qui était resté inconnu jusqu'à nos jours</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 1, Paris, M. Patris, <time>1814</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/lesoeuvresdeucli01eucl/">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Les+%C5%93uvres+d%27Euclide%2C+en+grec%2C+en+latin+et+en+fran%C3%A7ais&rft.place=Paris&rft.pub=M.+Patris&rft.stitle=d%27apr%C3%A8s+un+manuscrit+tr%C3%A8s-ancien+qui+%C3%A9tait+rest%C3%A9+inconnu+jusqu%27%C3%A0+nos+jours&rft.au=Euclide&rft.date=1814&rft.volume=1&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Flesoeuvresdeucli01eucl%2F&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAddition">, édition trilingue des livres I à VII des Éléments</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

/* start https://fr.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}

/* end https://fr.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3></div>

<ul><li><a href="Soustraction" title="Soustraction">Soustraction</a></li>

<li><a href="Arithm%C3%A9tique" title="Arithmétique">Arithmétique</a></li>

<li><a href="Op%C3%A9ration_(math%C3%A9matiques)" title="Opération (mathématiques)">Opération (mathématiques)</a></li>

<li><a href="Additif" title="Additif">Additif</a> (page d’homonymie)</li>

<li><a href="Signes_plus_et_moins" title="Signes plus et moins">Signes plus et moins</a></li>

<li><a href="Table_d'addition" title="Table d'addition">Table d'addition</a></li>

<li><a href="Technique_de_l'addition" title="Technique de l'addition">Technique de l'addition</a></li>

<li><a href="Calcul_horaire#Addition" title="Calcul horaire">Addition en calcul horaire</a></li>

<li><a href="Produit_(math%C3%A9matiques)" title="Produit (mathématiques)">Produit (mathématiques)</a></li></ul>

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li> Portail des mathématiques </li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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